جواب فعالیت صفحه ۱۸ ریاضیات گسسته

در درس قبل دیدیم که باقی‌مانده‌های تقسیم اعداد بر ۴ عبارت‌اند از ۰، ۱، ۲ و ۳. حال اگر هر کدام از این باقی‌مانده‌ها را نمایندۀ یک مجموعه از اعداد در نظر بگیریم که باقی‌ماندۀ تقسیم هر عضو آن مجموعه بر عدد ۴، به‌ترتیب ۰، ۱، ۲ و ۳ باشد، داریم:

(مجموعۀ اعدادی را که باقی‌ماندۀ تقسیم آنها بر عدد \(m\)، مساوی با عدد \(r\) باشد با نماد \([r]_m\) نشان می‌دهیم)

\[A_0=\{x\in\mathbb{Z}\mid x=4k\}=\{\dots,-8,-4,0,4,8,\dots,16,\dots\}=[0]_4\]
\[A_1=\{x\in\mathbb{Z}\mid x=4k+1\}=\{\dots,-7,-3,1,5,\dots,13,\dots,21,\dots\}=[1]_4\]
\[A_2=\{x\in\mathbb{Z}\mid x=4k+2\}=\{\dots,-6,\dots,2,6,10,\dots\}=[2]_4\]
\[A_3=\{x\in\mathbb{Z}\mid x=4k+3\}=\{\dots,-13,\dots,-5,-1,3,7,11,\dots\}=[3]_4\]

۱. دو عضو دلخواه از مجموعۀ \(A_0\) را در نظر بگیرید. آیا تفاضل این دو عدد مضرب ۴ است؟