جواب کار در کلاس صفحه ۷ ریاضیات گسسته

الف) ترکیب دو شرطی \(a<b \Leftrightarrow a^2<b^2\) درست نیست.

برای رد این ترکیب دو شرطی، یک مثال نقض ارائه می‌کنیم. اگر \(a=-3\) و \(b=1\) باشد، داریم:

\[a=-3<1=b\]

اما:

\[a^2=9 \not< 1=b^2\]

یعنی \(a<b\) درست است ولی \(a^2<b^2\) درست نیست. پس رابطهٔ \(a<b\Rightarrow a^2<b^2\) در حالت کلی برقرار نیست و ترکیب دو شرطی هم درست نیست.

ب) ترکیب دو شرطی \(a<b \Leftrightarrow a^3<b^3\) درست است.

برای اثبات، دو جهت را جداگانه بررسی می‌کنیم.

جهت اول: فرض می‌کنیم \(a<b\). داریم:

\[b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)\]

چون \(a<b\) پس \(b-a>0\). همچنین:

\[a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\]

این عبارت هیچ‌گاه منفی نیست و فقط وقتی صفر می‌شود که \(a=b=0\) باشد، که با \(a<b\) در تناقض است. پس \(a^2+ab+b^2>0\). در نتیجه حاصل‌ضرب دو عامل مثبت است:

\[b^3-a^3>0 \Rightarrow a^3<b^3\]

جهت دوم: فرض می‌کنیم \(a^3<b^3\) و از برهان خلف استفاده می‌کنیم. اگر \(a<b\) نباشد، آنگاه \(a\geq b\). در این صورت:

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\geq 0\]

یعنی \(a^3\geq b^3\) که با فرض \(a^3<b^3\) در تناقض است. پس فرض خلف باطل است و \(a<b\).

از دو جهت نتیجه می‌گیریم که \(a<b \Leftrightarrow a^3<b^3\) برای هر دو عدد حقیقی \(a\) و \(b\) درست است.