جواب فعالیت صفحه ۴۸ هندسه 3

الف) قلم را در نقطهٔ \(A\) قرار می‌دهیم. چون بیضی نسبت به نقطهٔ \(O\) متقارن است، نقاط \(F\) و \(F'\) نسبت به \(O\) قرینه‌اند و نقاط \(A\) و \(A'\) هم نسبت به \(O\) قرینه‌اند. بنابراین قرینهٔ پاره‌خط \(FA\) نسبت به \(O\) همان پاره‌خط \(F'A'\) است و داریم:

\[FA = F'A'\]

حالا فرض می‌کنیم \(OA = x\) و \(OA' = y\). چون \(F\) بین \(O\) و \(A\) است و \(F'\) بین \(O\) و \(A'\) است، داریم:

\[FA = OA - OF = x - c\]
\[F'A' = OA' - OF' = y - c\]

از \(FA = F'A'\) نتیجه می‌شود:

\[x - c = y - c \Rightarrow x = y\]

پس \(OA' = OA = a\) و در نتیجه اندازهٔ قطر بزرگ بیضی برابر است با:

\[AA' = OA + OA' = 2a\]

ب) در وضعیتی که قلم در \(A\) است، طول نخ برابر مجموع \(FA\) و \(F'A\) است. داریم:

\[F'A = OF' + OA = c + a\]
\[FA = OA - OF = a - c\]

پس:

\[l = FA + F'A = (a - c) + (a + c) = 2a\]

و چون \(AA' = 2a\) است، نتیجه می‌شود:

\[l = 2a = AA'\]

یعنی طول نخ برابر طول قطر بزرگ بیضی است.