جواب کار در کلاس صفحه ۴۸ هندسه 3

حل:

ابتدا اندازه‌های داده‌شده را روی شکل پیدا می‌کنیم. چون \(F\) بین \(O\) و \(A\) است و فاصلهٔ \(F\) از هر دو نقطهٔ \(O\) و \(A\) برابر ۴ است، داریم:

\[OF = c = 4\]
\[FA = 4 \Rightarrow OA = a = OF + FA = 4 + 4 = 8\]

پس قطر بزرگ بیضی برابر \(2a = 16\) است.

برای اندازهٔ قطر کوچک، از رابطهٔ \(b^2 + c^2 = a^2\) استفاده می‌کنیم:

\[b^2 = a^2 - c^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48\]

حالا نقطهٔ \(D\) را پیدا می‌کنیم. خط عمود بر \(AA'\) در \(F\) است، پس \(D\) روی خطی است که \(F\) بر محور \(x\) عمود است و طول \(FD\) را با \(t\) نشان می‌دهیم.

طبق تعریف بیضی، مجموع فاصله‌های هر نقطهٔ بیضی از دو کانون برابر \(2a\) است، پس:

\[DF + DF' = 2a = 16 \Rightarrow DF' = 16 - t\]

مثلث \(DFF'\) در \(F\) قائم‌الزاویه است و \(FF' = 2c = 8\). با قضیهٔ فیثاغورس:

\[DF'^2 = DF^2 + FF'^2\]
\[(16 - t)^2 = t^2 + 8^2\]
\[256 - 32t + t^2 = t^2 + 64\]
\[32t = 192 \Rightarrow t = 6\]

پس \(FD = 6\). چون \(D\) بالای محور \(x\) است، عرض آن مثبت است. همچنین \(D\) روی خط \(x = 4\) است، زیرا \(F\) روی محور \(x\) و در فاصلهٔ ۴ از \(O\) قرار دارد. بنابراین:

\[D(4,\ 6)\]

و مختصات نقطهٔ \(D\) برابر \((4,6)\) است. (نقطهٔ قرینهٔ آن، \((4,-6)\)، پایین محور \(x\) است.)