جواب فعالیت صفحه ۴۱ هندسه 3

معادلهٔ ضمنی را در حالت کلی می‌نویسیم:

\[x^2+y^2+ax+by+c=0\]

برای ساختن مربع کامل، عبارت‌های \(x^2+ax\) و \(y^2+by\) را جدا می‌کنیم و به هر کدام، مقداری اضافه و کم می‌کنیم:

\[\left(x^2+ax+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}\right)+\left(y^2+by+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}\right)+c=0 \Rightarrow\]

عبارت‌های داخل پرانتز را به مربع کامل تبدیل می‌کنیم:

\[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}+c=0 \Rightarrow\]

جمله‌های ثابت را به طرف راست می‌بریم و مخرج مشترک می‌گیریم:

\[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2+b^2-4c}{4}\]

با مقایسه با معادلهٔ استاندارد دایره، مرکز و شعاع به دست می‌آید:

\[O\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right),\quad r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}\]

پس جاهای خالی به ترتیب این‌ها هستند: \(\frac{a}{2}\)، \(\frac{b}{2}\)، \(\frac{b^2}{4}\)، \(\frac{a^2}{4}\)، \(a^2+b^2-4c\) و مرکز \(\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)\).