جواب فعالیت صفحه ۴۴ هندسه 3

۱ـ معادلهٔ داده‌شده را با روش مربع کامل به صورت استاندارد می‌نویسیم:

\[x^2-4x+y^2-6y=3 \Rightarrow (x^2-4x+4)+(y^2-6y+9)=3+4+9\]
\[\Rightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=16 \Rightarrow O'(2,3),\ r'=4\]

۲ـ طول خط‌المرکزین دو دایره را به دست می‌آوریم:
\[d=OO'=\sqrt{(0-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\]

۳ـ چون دو دایره از داخل بر هم مماس‌اند، طبق هندسهٔ ۲ داریم \(d=|r-r'|\):
\[|r-4|=2\sqrt{2} \Rightarrow r-4=\pm 2\sqrt{2} \Rightarrow r=4\pm 2\sqrt{2}\]

هر دو مقدار \(r=4+2\sqrt{2}\) و \(r=4-2\sqrt{2}\) مثبت‌اند (چون \(2\sqrt{2}\approx 2.83<4\))، پس هر دو قابل قبول‌اند.

۴ـ با داشتن مرکز \(O(0,1)\) و شعاع، معادلهٔ دایره را می‌نویسیم:
\[(x-0)^2+(y-1)^2=(4\pm 2\sqrt{2})^2\]

یعنی دو دایره داریم:
\[x^2+(y-1)^2=(4-2\sqrt{2})^2 \qquad \text{و} \qquad x^2+(y-1)^2=(4+2\sqrt{2})^2\]

چرا مسئله دو جواب دارد؟
فاصلهٔ مراکز \(d\) ثابت است، اما شعاع دایرهٔ جدید می‌تواند دو حالت داشته باشد. در حالت اول دایرهٔ کوچک‌تر \(r=4-2\sqrt{2}\) داخل دایرهٔ بزرگ قرار می‌گیرد و از داخل بر آن مماس می‌شود. در حالت دوم دایرهٔ \(r=4+2\sqrt{2}\) بزرگ‌تر است و دایرهٔ \(x^2+y^2-4x-6y=3\) از داخل بر آن مماس می‌شود. چون هر دو حالت با شرط \(d=|r-r'|\) سازگارند، دو جواب داریم.