جواب فعالیت صفحه ۳۷ هندسه 3

الف) طبق تعریف دایره، همهٔ نقاط محیط دایره از مرکز آن به یک فاصله، یعنی به اندازهٔ شعاع، هستند. پس برای هر نقطهٔ دلخواه \(A\) روی دایره:

\[OA=r\]

ب) برای اثبات، از برهان خلف استفاده می‌کنیم. فرض کنید \(OB=r\) باشد اما \(B\) روی دایره نباشد، یعنی \(B\notin C\).

اگر \(B\) روی دایره نباشد، آنگاه \(B\) یا داخل دایره است یا خارج آن:

• اگر \(B\) داخل دایره باشد، آنگاه \(OB<r\).
• اگر \(B\) خارج دایره باشد، آنگاه \(OB>r\).

در هر دو حالت \(OB\neq r\)، که با فرض \(OB=r\) در تناقض است. پس فرض خلف باطل است و \(B\) روی دایره است.

نتیجه‌گیری: از بخش الف می‌دانیم هر نقطهٔ روی دایره از \(O\) به فاصلهٔ \(r\) است. از بخش ب نیز می‌دانیم هر نقطه‌ای که از \(O\) به فاصلهٔ \(r\) باشد، روی دایره است. بنابراین:

\[A \in C \Leftrightarrow OA=r\]