جواب کار در کلاس صفحه ۴۳ هندسه 3

حل:

ابتدا فاصلهٔ مرکز \(O(0,1)\) از خط \(x+y-2=0\) را به‌دست می‌آوریم. این فاصله همان طول پاره‌خط \(OH\) است:

\[OH=\frac{|0+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

طبق راهنمایی، عمود \(OH\) وتر \(AB\) را نصف می‌کند، پس:

\[HB=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\]

مثلث \(OHB\) در \(H\) قائم‌الزاویه است و \(OB\) شعاع دایره است. با قضیهٔ فیثاغورس داریم:

\[r^2=OB^2=OH^2+HB^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+(\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\]

حال با داشتن مرکز \(O(0,1)\) و مربع شعاع \(r^2=\dfrac{5}{2}\)، معادلهٔ دایره را می‌نویسیم:

\[(x-0)^2+(y-1)^2=\frac{5}{2} \Rightarrow \boxed{x^2+(y-1)^2=\frac{5}{2}}\]