جواب بدون عنوان صفحه ۶۷ ریاضی (1)

برای گویا کردن مخرج هر کسر، از اتحادهای مجموع و تفاضل مکعب‌ها استفاده می‌کنیم. در هر بخش، صورت و مخرج را در عبارتی ضرب می‌کنیم که مخرج را به یک عبارت بدون رادیکال تبدیل کند.

الف)
\[\frac{2}{\sqrt[3]{5}+1}=\frac{2}{\sqrt[3]{5}+1}\times\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}\]
\[=\frac{2(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1)}{(\sqrt[3]{5})^3+1^3}=\frac{2(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1)}{5+1}\]
\[=\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}{3}\]

ب)
\[\frac{1}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}}\times\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}}\]
\[=\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}}{(\sqrt[3]{7})^3-(\sqrt[3]{3})^3}=\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}}{7-3}\]
\[=\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}}{4}\]

پ)
صورت کسر را به شکل مکعب‌ها می‌نویسیم:
\[x+8=(\sqrt[3]{x})^3+2^3\]
\[\frac{x+8}{\sqrt[3]{x}+2}=\frac{(\sqrt[3]{x})^3+2^3}{\sqrt[3]{x}+2}=\frac{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{\sqrt[3]{x}+2}\]
\[=\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4\]
این کسر به ازای \(x\neq-8\) تعریف شده است.

ت)
\[\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+1}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+1}\times\frac{\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{x^2}+1}\]
\[=\frac{\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{x^2}+1}{(\sqrt[3]{x^2})^3+1^3}=\frac{\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{x^2}+1}{x^2+1}\]