جواب تمرین صفحه ۵۶ ریاضی (1)

برای بررسی درستی رابطهٔ \(\sqrt[k]{a^m}=\left(\sqrt[k]{a}\right)^m\) چند حالت مختلف را امتحان می‌کنیم. به یاد داشته باشید که اگر \(k\) زوج باشد، \(a\) باید مثبت باشد.

حالت اول: \(k=2,\ m=3,\ a=4\)

\[\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8\]
\[\left(\sqrt{4}\right)^3=2^3=8\]

پس \(\sqrt{4^3}=\left(\sqrt{4}\right)^3\) است.

حالت دوم: \(k=4,\ m=2,\ a=16\)

\[\sqrt[4]{16^2}=\sqrt[4]{256}=4\]
\[\left(\sqrt[4]{16}\right)^2=2^2=4\]

پس \(\sqrt[4]{16^2}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^2\) است.

حالت سوم: \(k=4,\ m=3,\ a=81\)

\[\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441}=27\]
\[\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=3^3=27\]

پس \(\sqrt[4]{81^3}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3\) است.

حالت چهارم: \(k=3,\ m=2,\ a=-8\) (چون \(k\) فرد است، \(a\) می‌تواند منفی باشد.)

\[\sqrt[3]{(-8)^2}=\sqrt[3]{64}=4\]
\[\left(\sqrt[3]{-8}\right)^2=(-2)^2=4\]

پس تساوی برقرار است.

حالت پنجم: \(k=5,\ m=3,\ a=-2\)

\[\sqrt[5]{(-2)^3}=\sqrt[5]{-8}=-\sqrt[5]{8}\]
\[\left(\sqrt[5]{-2}\right)^3=\left(-\sqrt[5]{2}\right)^3=-\left(\sqrt[5]{2}\right)^3=-\sqrt[5]{8}\]

پس تساوی برقرار است.

حالت ششم: \(k=2,\ m=2,\ a=-4\) (این حالت مجاز نیست، چون \(k\) زوج است و \(a\) منفی.)

\[\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4\]
اما \(\sqrt{-4}\) تعریف نشده است، پس \(\left(\sqrt{-4}\right)^2\) بی‌معنی است. به همین دلیل وقتی \(k\) زوج است، باید \(a\) مثبت یا صفر باشد.

نتیجه: در همه حالت‌های بررسی‌شده، برای \(k\) فرد و هر \(a\)، و برای \(k\) زوج و \(a\) نامنفی، رابطهٔ
\[\sqrt[k]{a^m}=\left(\sqrt[k]{a}\right)^m\]
برقرار است.