جواب کار در کلاس صفحه ۶۵ ریاضی (1)

الف) صورت را تجزیه می‌کنیم. چون \(x^6=(x^2)^3\) است، از اتحاد مجموع مکعب‌ها استفاده می‌کنیم:
\[x^6+1=(x^2)^3+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\]
مخرج هم اتحاد مربع مجموع است:
\[x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2\]
بنابراین:
\[\frac{x^6+1}{x^4+2x^2+1}=\frac{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{x^4-x^2+1}{x^2+1}\]

ب) صورت را تجزیه می‌کنیم:
\[x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\]
مخرج \((x-1)^3\) است. پس:
\[\frac{x^3-1}{(x-1)^3}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)^3}=\frac{x^2+x+1}{(x-1)^2}\]
این عبارت به ازای \(x\neq 1\) تعریف شده است.

پ) مخرج را تجزیه می‌کنیم:
\[x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\]
صورت \(x^2+1\) است و با یکی از عامل‌های مخرج ساده می‌شود:
\[\frac{x^2+1}{x^4-1}=\frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\frac{1}{x^2-1}\]
این عبارت به ازای \(x\neq 1\) و \(x\neq -1\) تعریف شده است.

ت) صورت و مخرج را تجزیه شده در نظر می‌گیریم:
\[\frac{y^5-y^3-12y}{8y^2+16y}=\frac{y(y^4-y^2-12)}{8y(y+2)}=\frac{y(y^2-4)(y^2+3)}{8y(y+2)}\]
چون \(y^2-4=(y-2)(y+2)\) است:
\[=\frac{y(y-2)(y+2)(y^2+3)}{8y(y+2)}\]
عامل‌های \(y\) و \(y+2\) را حذف می‌کنیم:
\[=\frac{(y-2)(y^2+3)}{8}\]
این تساوی به ازای \(y\neq 0\) و \(y\neq -2\) برقرار است.