جواب کار در کلاس صفحه ۵۷ ریاضی (1)

با توجه به جدول فعالیت صفحهٔ ۵۶ و صفحهٔ ۵۷، حالت‌های مختلف را بررسی می‌کنیم.

حالت ۱: \(a\geq 0\)

اگر \(a\geq 0\) باشد، برای هر عدد طبیعی \(n\) داریم:

\[\sqrt[n]{a^n}=a \qquad \text{و} \qquad (\sqrt[n]{a})^n=a\]

پس تساوی برقرار است. مثلاً \(\sqrt[4]{2^4}=2\) و \((\sqrt[4]{2})^4=2\).

حالت ۲: \(a<0\) و \(n\) فرد

در این حالت ریشهٔ \(n\)ام عدد منفی وجود دارد و داریم:

\[\sqrt[n]{a^n}=a \qquad \text{و} \qquad (\sqrt[n]{a})^n=a\]

مثلاً \(\sqrt[3]{(-2)^3}=-2\) و \((\sqrt[3]{-2})^3=-2\). پس تساوی برقرار است.

حالت ۳: \(a<0\) و \(n\) زوج

در این حالت \(\sqrt[n]{a}\) تعریف نشده است، زیرا طبق قرارداد، وقتی \(n\) زوج است، \(a\) باید نامنفی باشد. پس سمت راست تساوی بی‌معنی است و تساوی برقرار نیست.

همچنین سمت چپ برابر است با:

\[\sqrt[n]{a^n}=|a|\]

مثلاً \(\sqrt[4]{(-2)^4}=2\) و این عدد برابر \(-2\) نیست. اما \((\sqrt[4]{-2})^4\) تعریف نشده است.

نتیجه: تساوی \(\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n\) به‌ازای \(a<0\) و \(n\) زوج برقرار نیست.