جواب بدون عنوان صفحه ۶۶ ریاضی (1)

الف) صورت و مخرج را در مزدوج مخرج، یعنی \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\)، ضرب می‌کنیم:
\[\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\]

ب) مزدوج مخرج \(3\sqrt{2}+4\) برابر \(3\sqrt{2}-4\) است:
\[\frac{8}{3\sqrt{2}+4}=\frac{8}{3\sqrt{2}+4}\times\frac{3\sqrt{2}-4}{3\sqrt{2}-4}=\frac{8(3\sqrt{2}-4)}{(3\sqrt{2})^2-4^2}=\frac{8(3\sqrt{2}-4)}{18-16}\]
\[=\frac{8(3\sqrt{2}-4)}{2}=4(3\sqrt{2}-4)=12\sqrt{2}-16\]

پ) مزدوج \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\) برابر \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\) است:
\[\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\times\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}=\frac{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\]
(این تساوی وقتی درست است که \(x\neq y\) باشد.)

ت) مزدوج \(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\) برابر \(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\) است:
\[\frac{h}{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}=\frac{h}{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}\times\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{(x+h)-x}=\frac{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h}=\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\]
(این تساوی وقتی درست است که \(h\neq 0\) باشد.)