جواب فعالیت صفحه ۵۴ ریاضی (1)

در جدول، ریشه‌های مختلف عدد ۶۴ را حساب می‌کنیم:

• ریشهٔ سوم: \(\sqrt[3]{64}=4\) زیرا \(4^3=64\).
• ریشه‌های ششم: \(\sqrt[6]{64}=2\) و \(-\sqrt[6]{64}=-2\) زیرا \(2^6=64\) و \((-2)^6=64\).
• ریشهٔ هفتم: \(\sqrt[7]{64}\simeq 1/8\) (چون \(1/8^7\simeq 61/2\) و \(1/9^7\simeq 89/4\)). ریشهٔ هفتم، عدد مثبت دیگری ندارد.
• ریشه‌های هشتم: \(\sqrt[8]{64}\simeq 1/7\) و \(-\sqrt[8]{64}\simeq -1/7\).

(مقدارهای تقریبی را با ماشین‌حساب به دست آورده‌ایم.)

ریشه‌های ششم عدد ۶۴ اعداد \(\sqrt[6]{64}\) و \(-\sqrt[6]{64}\) یا همان ۲ و −۲ هستند؛ زیرا \(64=2^6\) و \(64=(-2)^6\).

درباره ریشهٔ هفتم و هشتم عدد ۶۴:
ریشهٔ هفتم (توان فرد) عدد ۶۴ فقط یک مقدار دارد و آن \(\sqrt[7]{64}\simeq 1/8\) است. ریشهٔ هشتم (توان زوج) عدد ۶۴ دو مقدار دارد که قرینهٔ یکدیگرند: \(\sqrt[8]{64}\simeq 1/7\) و \(-\sqrt[8]{64}\simeq -1/7\).

به طور کلی، اگر \(n\in\mathbb{N}\):

• اگر \(n\) فرد باشد، عدد ۶۴ یک ریشهٔ nام دارد و آن \(\sqrt[n]{64}\) است.
• اگر \(n\) زوج باشد، عدد ۶۴ دو ریشهٔ nام دارد که قرینهٔ یکدیگرند: \(\sqrt[n]{64}\) و \(-\sqrt[n]{64}\).

در حالت کلی‌تر، اگر \(a\) عددی مثبت و \(n\in\mathbb{N}\) باشد:

• اگر \(n\) فرد باشد، \(a\) یک ریشهٔ nام دارد (مثبت).
• اگر \(n\) زوج باشد، \(a\) دو ریشهٔ nام دارد: \(\sqrt[n]{a}\) و \(-\sqrt[n]{a}\) که قرینهٔ یکدیگرند.