جواب فعالیت صفحه ۶۲ ریاضی (1)

«اتحاد» به تساوی‌ای گفته می‌شود که برای هر مقدار a و b درست باشد. یعنی لازم نیست فقط برای چند عدد خاص درست باشد.

دلیل هندسی: مربعی به ضلع \(a+b\) رسم می‌کنیم. ضلع‌های آن را به دو قسمت a و b تقسیم می‌کنیم. مربع به چهار ناحیه تقسیم می‌شود:

• ناحیهٔ پایین سمت چپ: مربعی به ضلع a، با مساحت \(a \times a = a^2\)
• ناحیهٔ بالا سمت چپ: مستطیلی به ابعاد a و b، با مساحت \(ab\)
• ناحیهٔ پایین سمت راست: مستطیلی به ابعاد b و a، با مساحت \(ba\)
• ناحیهٔ بالا سمت راست: مربعی به ضلع b، با مساحت \(b^2\)

مساحت کل مربع را به دو روش حساب می‌کنیم:

\[(a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2\]

چون \(ab = ba\)، داریم:

\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

چون این تساوی برای هر طول a و b درست است، به آن اتحاد می‌گوییم.

توجه به شکل کتاب: شکل کتاب همین ایده را نشان می‌دهد، با این تفاوت که مربع بزرگ به ضلع a است و ضلع‌هایش به قسمت‌های \(a-b\) و b تقسیم شده‌اند. با جمع مساحت‌ها به تساوی \(a^2 = (a-b)^2 + 2b(a-b) + b^2\) می‌رسیم. با باز کردن پرانتزها و ساده کردن، این تساوی به \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) تبدیل می‌شود. این هم یک اتحاد است که برای هر a و b درست است.