جواب بدون عنوان صفحه ۶۰ ریاضی (1)

الف) در تعریف \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) داریم \(a=5\)، \(m=2\) و \(n=5\):
\[5^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{5^2}=\sqrt[5]{25}\]
چون \(25\) توان کامل پنجم نیست، حاصل به‌صورت عدد صحیح به‌دست نمی‌آید و به همین شکل رادیکالی می‌ماند.

ب) در اینجا \(a=3\)، \(m=2\) و \(n=7\):
\[3^{\frac{2}{7}}=\sqrt[7]{3^2}=\sqrt[7]{9}\]
این عدد هم حاصل صحیح ندارد و به شکل رادیکالی باقی می‌ماند.

پ) در اینجا \(a=81\)، \(m=3\) و \(n=4\). می‌توانیم صورت رادیکالی را بنویسیم و سپس حاصل را حساب کنیم:
\[81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3\]
چون \(3^4=81\) است، پس \(\sqrt[4]{81}=3\) و داریم:
\[81^{\frac{3}{4}}=3^3=27\]

ت) ابتدا توان منفی را طبق تعریف \(a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\) به کسر تبدیل می‌کنیم:
\[16^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{16^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\]
چون \(2^4=16\) است، \(\sqrt[4]{16}=2\). بنابراین:
\[16^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\]

ث) در اینجا \(a=4\)، \(m=3\) و \(n=2\):
\[4^{\frac{3}{2}}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}\]
چون \(8^2=64\) است، پس:
\[4^{\frac{3}{2}}=8\]