جواب بدون عنوان صفحه ۵۵ ریاضی (1)

بخش اول: ریشهٔ چهارم حاصل‌ضرب

چون ۴ عدد زوج است، ریشهٔ چهارم فقط برای عددهای نامنفی تعریف می‌شود. پس باید \(a\) و \(b\) مثبت (یا صفر) باشند.

برای مثال:

\[\sqrt[4]{16}\times\sqrt[4]{81}=2\times 3=6\]

و چون \(16\times 81=1296\)، داریم:

\[\sqrt[4]{16}\times\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{1296}=6\]

زیرا \(6^4=1296\).

بنابراین در این مثال رابطهٔ \(\sqrt[4]{a}\times\sqrt[4]{b}=\sqrt[4]{ab}\) برقرار است.

بخش دوم: ریشهٔ پنجم حاصل‌ضرب

رابطهٔ \(\sqrt[5]{a}\times\sqrt[5]{b}=\sqrt[5]{ab}\) برای ریشهٔ پنجم برقرار است.

آیا \(a\) و \(b\) حتماً باید نامنفی باشند؟ نه، زیرا ۵ عدد فرد است و ریشهٔ پنجم عدد منفی وجود دارد.

مثال با \(a\) و \(b\) نامنفی:

\[a=32,\quad b=243\]

\[\sqrt[5]{32}\times\sqrt[5]{243}=2\times 3=6\]

\[\sqrt[5]{32\times 243}=\sqrt[5]{7776}=6\]

زیرا \(6^5=7776\). پس تساوی برقرار است.

مثال با \(a\) و \(b\) منفی:

\[a=-32,\quad b=-243\]

\[\sqrt[5]{-32}\times\sqrt[5]{-243}=(-2)\times(-3)=6\]

\[\sqrt[5]{(-32)\times(-243)}=\sqrt[5]{7776}=6\]

پس تساوی برقرار است.

مثال با یکی منفی و یکی مثبت:

\[a=-32,\quad b=243\]

\[\sqrt[5]{-32}\times\sqrt[5]{243}=(-2)\times 3=-6\]

\[\sqrt[5]{(-32)\times 243}=\sqrt[5]{-7776}=-6\]

زیرا \((-6)^5=-7776\). پس تساوی در این حالت هم برقرار است.

نتیجه: برای ریشهٔ پنجم (و به طور کلی برای ریشهٔ nام با \(n\) فرد)، رابطهٔ \(\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) همواره برقرار است و \(a\) و \(b\) لازم نیست نامنفی باشند.