جواب کار در کلاس صفحه ۴۰ ریاضی (1)

الف) خط \(2y-3x=5\)

ابتدا معادله را به شکل \(y=mx+b\) می‌نویسیم:
\[2y=3x+5 \Rightarrow y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\]

برای رسم خط، دو نقطه روی آن پیدا می‌کنیم:

• به ازای \(x=0\): \(y=\frac{5}{2}\)، پس \(B(0,\frac{5}{2})\).
• به ازای \(x=2\): \(y=\frac{3\times 2+5}{2}=\frac{11}{2}\)، پس \(C(2,\frac{11}{2})\).

از نقاط \(B\) و \(C\) خط‌هایی بر محور \(x\)ها عمود می‌کنیم. پای عمودها \(E(0,0)\) و \(F(2,0)\) هستند.

محل برخورد خط با محور \(x\)ها را پیدا می‌کنیم: \(y=0\) را در معادله قرار می‌دهیم.
\[0=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \Rightarrow x=-\frac{5}{3}\]
پس \(A\left(-\frac{5}{3},0\right)\) است.

در مثلث قائم‌الزاویهٔ \(ABE\) داریم:
\[AE=0-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{5}{3},\qquad BE=\frac{5}{2}\]
\[\tan\alpha=\frac{BE}{AE}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{3}}=\frac{5}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{3}{2}\]

حالا شیب خط را حساب می‌کنیم:
\[\text{شیب خط}=\frac{\text{تفاضل عرض‌ها}}{\text{تفاضل طول‌ها}}=\frac{\frac{11}{2}-\frac{5}{2}}{2-0}=\frac{3}{2}\]

از مقایسهٔ دو قسمت می‌بینیم \(\tan\alpha=\frac{3}{2}\) و شیب خط هم \(\frac{3}{2}\) است. پس شیب خط برابر تانژانت زاویهٔ بین خط و جهت مثبت محور \(x\)ها است.

\[\text{شیب خط}=\tan\alpha=\frac{3}{2}\]

ب) خط \(x+y=2\)

معادله را به شکل \(y=mx+b\) می‌نویسیم:
\[y=-x+2\]

دو نقطه روی خط پیدا می‌کنیم:

• به ازای \(x=0\): \(y=2\)، پس \(B(0,2)\).
• به ازای \(x=3\): \(y=-1\)، پس \(C(3,-1)\).

از \(B\) و \(C\) بر محور \(x\)ها عمود می‌کنیم. پای عمودها \(E(0,0)\) و \(F(3,0)\) هستند.

محل برخورد خط با محور \(x\)ها: \(y=0\) یعنی \(x+0=2\)، پس \(A(2,0)\).

در مثلث \(ABE\) داریم \(AE=2\) و \(BE=2\)، و خط از \(A\) به سمت چپ بالا می‌رود. زاویهٔ بین خط و نیم‌خط مثبت محور \(x\)ها منفرجه است و با زاویهٔ حادهٔ \(45^\circ\) مکمل است، یعنی \(\alpha=135^\circ\). پس:
\[\tan\alpha=\tan 135^\circ=-\tan 45^\circ=-1\]

شیب خط را حساب می‌کنیم:
\[\text{شیب خط}=\frac{\text{تفاضل عرض‌ها}}{\text{تفاضل طول‌ها}}=\frac{-1-2}{3-0}=\frac{-3}{3}=-1\]

از مقایسه می‌بینیم \(\tan\alpha=-1\) و شیب خط هم \(-1\) است. پس باز هم شیب خط برابر تانژانت زاویهٔ آن با جهت مثبت محور \(x\)ها است.

\[\text{شیب خط}=\tan\alpha=-1\]