جواب کار در کلاس صفحه ۸۰ ریاضیات گسسته

حل:

مثلث بزرگ با ضلع ۳ واحد را با خطوط موازی به ۹ مثلث متساوی‌الاضلاع کوچک به ضلع ۱ واحد تقسیم کرده‌ایم. پس ۹ «لانه» داریم.

نقاط را «کبوتر» و مثلث‌های کوچک را «لانه» در نظر می‌گیریم. ۱۰ نقطه دلخواه داخل مثلث داریم، یعنی \(m=10\) و تعداد لانه‌ها \(n=9\). چون \(10>9\)، طبق اصل لانه کبوتری، حداقل یک مثلث کوچک وجود دارد که حداقل ۲ نقطه در آن قرار گرفته‌اند.

دو نقطه‌ای که در یک مثلث کوچک به ضلع ۱ قرار دارند، فاصله‌شان از یکدیگر بیشترین مقدار برابر قطر آن مثلث، یعنی ۱ واحد است. پس فاصله‌شان حداکثر ۱ است.

برای اینکه فاصله دقیقاً ۱ نشود، باید دو نقطه دو رأس مقابل یک مثلث کوچک باشند. اگر نقاط را طوری انتخاب کنیم که روی رأس‌های مثلث‌های کوچک نباشند، فاصله هر دو نقطه‌ای که در یک لانه‌اند کمتر از ۱ می‌شود. بنابراین حداقل ۲ نقطه وجود دارد که فاصله‌شان از یکدیگر کمتر از ۱ است.