جواب کار در کلاس صفحه ۷۵ ریاضیات گسسته

مجموعه‌های زیر را تعریف می‌کنیم:

\[A = \{1 \leq n \leq 350 \mid 4 \mid n\} \rightarrow |A| = \left[\frac{350}{4}\right] = 87\]

\[B = \{1 \leq n \leq 350 \mid 5 \mid n\} \rightarrow |B| = \left[\frac{350}{5}\right] = 70\]

\[C = \{1 \leq n \leq 350 \mid 6 \mid n\} \rightarrow |C| = \left[\frac{350}{6}\right] = 58\]

برای اشتراک‌ها از قضیه‌ای که در متن آمده استفاده می‌کنیم: مجموعهٔ اعدادی که بر دو عدد بخش‌پذیرند، همان مجموعهٔ اعدادی است که برک‌م‌م آن دو عدد بخش‌پذیرند.

\[|A\cap B| = \left[\frac{350}{[4,5]}\right] = \left[\frac{350}{20}\right] = 17\]

\[|A\cap C| = \left[\frac{350}{[4,6]}\right] = \left[\frac{350}{12}\right] = 29\]

\[|B\cap C| = \left[\frac{350}{[5,6]}\right] = \left[\frac{350}{30}\right] = 11\]

\[|A\cap B\cap C| = \left[\frac{350}{[4,5,6]}\right] = \left[\frac{350}{60}\right] = 5\]

حالا با اصل شمول برای سه مجموعه، تعداد اعدادی را که بر 4 یا 5 یا 6 بخش‌پذیرند به‌دست می‌آوریم:

\[|A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\]

\[= 87+70+58-17-29-11+5 = 163\]

با استفاده از نتیجهٔ اصل شمول، تعداد عددهایی که بر هیچ‌یک از 4، 5 و 6 بخش‌پذیر نیستند برابر است با:

\[|\overline{A\cup B\cup C}| = |S| - |A\cup B\cup C| = 350 - 163 = 187\]

پس 187 عدد طبیعی \(n\) با شرط \(1 \leq n \leq 350\) وجود دارد که بر هیچ‌یک از اعداد 4، 5 و 6 بخش‌پذیر نیستند.