جواب بدون عنوان صفحه ۷۴ ریاضیات گسسته

این سؤال از دانش‌آموز می‌خواهد دلیل فرمول اصل شمول برای سه مجموعه را توضیح دهد. مانند مثال کتاب، ابتدا اعضای هر مجموعه را روی هم حساب می‌کنیم و سپس اعضای مشترک را تصحیح می‌کنیم.

توضیح:

1. وقتی تعداد اعضای \(A\)، \(B\) و \(C\) را جمع می‌کنیم، هر عضوی که فقط در یکی از آن‌ها باشد یک‌بار شمرده می‌شود.

1. عضوی که در دو مجموعه باشد (مثلاً در \(A\) و \(B\)) در \(|A|\) و \(|B|\) هر دو شمرده شده است، یعنی دو بار. پس باید یک‌بار از مجموع کم شود. به همین دلیل اشتراک‌های دوتایی \(|A\cap B|\)، \(|A\cap C|\) و \(|B\cap C|\) کم می‌شوند.

1. اما عضوی که در هر سه مجموعه باشد، در \(|A|\)، \(|B|\) و \(|C|\) سه بار شمرده شده است. با کم کردن سه اشتراک دوتایی، این عضو در \(|A\cap B|\)، \(|A\cap C|\) و \(|B\cap C|\) هر کدام یک‌بار حساب شده و در مجموع سه بار کم شده است، پس حالا از بین رفته است؛ یعنی آن را صفر بار شمرده‌ایم، در حالی که باید یک بار شمرده شود.

1. برای درست شدن شمارش، باید یک‌بار \(|A\cap B\cap C|\) را اضافه کنیم. بنابراین عضوی که در هر سه مجموعه است، در نهایت یک بار شمرده می‌شود.

نتیجه: اشتراک‌های دوتایی کم می‌شوند چون اعضای مشترک دو مجموعه دو بار شمرده شده‌اند، و اشتراک سه‌تایی اضافه می‌شود چون اعضای مشترک هر سه مجموعه در اشتراک‌های دوتایی سه بار کم شده‌اند و باید یک بار دوباره به حساب بیایند.