جواب بدون عنوان صفحه ۲۰ ریاضیات گسسته

اثبات ۲ (برای بخش‌های (۲) و (۳) ویژگی ۴):

فرض می‌کنیم \(a \overset{m}{\equiv} b\) و \(c \overset{m}{\equiv} d\). طبق تعریف هم‌نهشتی:

\[a \overset{m}{\equiv} b \Rightarrow m \mid a-b\]
\[c \overset{m}{\equiv} d \Rightarrow m \mid c-d\]

اگر دو عدد صحیح بر \(m\) بخش‌پذیر باشند، مجموع و تفاضل آن‌ها هم بر \(m\) بخش‌پذیر است. پس:

\[\xRightarrow{+} m \mid (a-b)+(c-d) \Rightarrow m \mid (a+c)-(b+d) \Rightarrow a+c \overset{m}{\equiv} b+d\]

برای تفاضل هم به همین صورت عمل می‌کنیم. از \(m \mid (a-b)\) و \(m \mid (c-d)\) داریم:

\[\xRightarrow{-} m \mid (a-b)-(c-d) \Rightarrow m \mid (a-c)-(b-d) \Rightarrow a-c \overset{m}{\equiv} b-d\]

پس اگر دو رابطهٔ هم‌نهشتی به یک پیمانه داشته باشیم، می‌توانیم دو طرف آن‌ها را با هم جمع یا از هم کم کنیم و رابطهٔ هم‌نهشتی به دست می‌آید. ✅