جواب کار در کلاس صفحه ۹۲ حسابان (2)

دامنه \(f\): تابع \(f\) برای هر \(x\) حقیقی تعریف شده است، پس دامنه \(f\) برابر \(\mathbb{R}\) است.

بررسی پیوستگی در \(x=1\):
\[\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}5x=5\]
\[f(1)=2\]
چون \(\lim_{x\to 1}f(x)\neq f(1)\)، تابع \(f\) در \(x=1\) پیوسته نیست. پس طبق قضیه، \(f\) در \(x=1\) مشتق‌پذیر نیست و \(f'(1)\) وجود ندارد.

ضابطه \(f'\): اگر \(x\neq 1\)، آنگاه می‌توان \(h\) را آنقدر کوچک گرفت که \(x+h\neq 1\). در این صورت:
\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{5(x+h)-5x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{5h}{h}=\lim_{h\to 0}5=5\]

بنابراین \(f'(x)=5\).

دامنه \(f'\): \(f'\) برای همه \(x\neq 1\) موجود است و در \(x=1\) موجود نیست، پس دامنه \(f'\) برابر \(\mathbb{R}-\{1\}\) است.

رسم نمودارها: نمودار \(f\) روی خط \(y=5x\) است، با این تفاوت که در \(x=1\) نقطه توخالی \((1,5)\) و نقطه توپر \((1,2)\) قرار دارد. نمودار \(f'\) خط افقی \(y=5\) است که در \(x=1\) یک نقطه توخالی دارد.