جواب کار در کلاس صفحه ۹۶ حسابان (2)

الف) تابع \(f(x)=\sin x \tan x\) حاصل ضرب دو تابع \(\sin x\) و \(\tan x\) است. طبق قاعدهٔ مشتق حاصل ضرب، \((fg)'=f'g+fg'\) داریم:

\[f(x)=\sin x \tan x \Rightarrow f'(x)=\cos x \tan x+\sin x\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\]

چون \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) و \(\cos x\tan x=\sin x\) است، داریم:

\[f'(x)=\sin x+\frac{\sin x}{\cos^2 x}\]

ب) تابع \(g(x)=\dfrac{5\cos x}{1-\sin x}\) به شکل کسر است. صورت را \(u(x)=5\cos x\) و مخرج را \(v(x)=1-\sin x\) می‌گیریم. طبق قاعدهٔ مشتق خارج قسمت:

\[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\]

\[u'(x)=-5\sin x,\qquad v'(x)=-\cos x\]

\[g'(x)=\frac{(-5\sin x)(1-\sin x)-(-\cos x)(5\cos x)}{(1-\sin x)^2}\]

\[=\frac{-5\sin x+5\sin^2 x+5\cos^2 x}{(1-\sin x)^2}\]

چون \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) است، صورت برابر \(-5\sin x+5 = 5(1-\sin x)\) می‌شود:

\[g'(x)=\frac{5(1-\sin x)}{(1-\sin x)^2}=\frac{5}{1-\sin x}\]

این نتیجه برای \(\sin x\neq 1\) برقرار است.