جواب کار در کلاس صفحه ۸۵ حسابان (2)

ابتدا مقدار تابع در \(x=1\) را از ضابطه‌ی \(x \leq 1\) به دست می‌آوریم:

\[g(1) = 1^2 = 1\]

برای بررسی وجود \(g'(1)\) از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم:

\[\lim_{x\to 1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}\]

چون \(g\) در \(x=1\) دو ضابطه دارد، حد را از راست و از چپ جدا حساب می‌کنیم.

برای \(x<1\) داریم \(g(x)=x^2\):

\[\text{حد چپ} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2\]

برای \(x>1\) داریم \(g(x)=x+1\):

\[\text{حد راست} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x+1) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x - 1} = +\infty\]

زیرا صورت کسر به \(1\) و مخرج کسر به \(0\) از سمت مثبت نزدیک می‌شود.

حد راست متناهی نیست و با حد چپ هم برابر نیست. پس \(\lim_{x \to 1} \frac{g(x)-g(1)}{x-1}\) موجود نیست و در نتیجه \(g'(1)\) وجود ندارد.

همچنین می‌توانیم از پیوستگی استفاده کنیم:

\[\lim_{x\to 1^-} g(x) = 1, \qquad \lim_{x\to 1^+} g(x) = 2\]

این دو حد برابر نیستند، پس \(g\) در \(x=1\) پیوسته نیست. می‌دانیم هر تابعی که در یک نقطه مشتق‌پذیر باشد در آن نقطه پیوسته است. بنابراین چون \(g\) در \(x=1\) پیوسته نیست، مشتق‌پذیر هم نیست.