جواب کار در کلاس صفحه ۹۸ حسابان (2)

نمودار \(f\):

ابتدا هر قسمت را جداگانه رسم می‌کنیم:

• برای \(x<-1\) داریم \(f(x)=2x+4\). این قسمت خطی است که در \(x=-1\) به \(y=2\) می‌رسد و نقطه‌ی \((-1,2)\) در آن توخالی است.
• برای \(-1\le x<2\) داریم \(f(x)=x^2-1\). این قسمت سهمی است. نقطه‌ی \((-1,0)\) توپر است و نقطه‌ی \((2,3)\) توخالی است.
• برای \(2<x<5\) داریم \(f(x)=-x+5\). این قسمت خط راست است که از \((2,3)\) توخالی تا \((5,0)\) توخالی ادامه دارد.

مشتق‌پذیری \(f\) روی بازه‌ها:

ابتدا پیوستگی \(f\) را در \(x=-1\) بررسی می‌کنیم:

\[f(-1)=(-1)^2-1=0\]

\[\lim_{x\to -1^-}f(x)=\lim_{x\to -1^-}(2x+4)=2\]

\[\lim_{x\to -1^+}f(x)=\lim_{x\to -1^+}(x^2-1)=0\]

چون حد چپ و حد راست برابر نیستند، \(\lim_{x\to -1} f(x)\) وجود ندارد و تابع در \(x=-1\) پیوسته نیست. هر تابعی که در یک نقطه پیوسته نباشد، در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست.

الف) بازه \([-1,1]\):

تابع \(f\) روی بازه‌ی \((-1,1)\) برابر \(x^2-1\) است و در هر نقطه‌ی این بازه مشتق دارد. پس \(f\) در بازه‌ی باز \((-1,1)\) مشتق‌پذیر است.

در نقطه‌ی \(a=-1\) باید مشتق راست داشته باشیم:

\[f'_+(-1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{(-1+h)^2-1-0}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h^2-2h}{h}=\lim_{h\to 0^+}(h-2)=-2\]

پس مشتق راست در \(-1\) وجود دارد.

در نقطه‌ی \(b=1\) باید مشتق چپ داشته باشیم. چون \(1\) داخل بازه‌ی \([-1,2)\) است، داریم \(f'(1)=2\cdot 1=2\) و مشتق چپ هم برابر \(2\) است.

بنابراین \(f\) روی بازه‌ی \([-1,1]\) مشتق‌پذیر است.

ب) بازه \((2,5)\):

برای \(2<x<5\) داریم \(f(x)=-x+5\) که یک تابع خطی است. پس در هر نقطه‌ی این بازه مشتق دارد و \(f'(x)=-1\). بنابراین \(f\) روی بازه‌ی \((2,5)\) مشتق‌پذیر است.

پ) بازه \([-2,0]\):

نقطه‌ی \(x=-1\) داخل بازه‌ی \((-2,0)\) قرار دارد و قبلاً دیدیم که \(f\) در \(x=-1\) مشتق‌پذیر نیست. پس \(f\) روی بازه‌ی \([-2,0]\) مشتق‌پذیر نیست.