جواب تمرین صفحه ۹۹ حسابان (2)

نمونه‌ای از دو تابع با این ویژگی را می‌سازیم. یادآوری: تابع \(f\) در \(x=a\) پیوسته است هرگاه \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)، و در \(x=a\) مشتق‌پذیر است هرگاه حد \(\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) موجود باشد.

برای اینکه مشتق موجود نباشد، کافی است در \(x=2\) یک «گوشه» داشته باشیم؛ مثلاً قدر مطلق.

تابع \(f(x)=|x-2|\) و تابع \(g(x)=|x-2|+1\) را در نظر می‌گیریم.

• پیوستگی: \(\lim_{x\to 2}|x-2|=0=f(2)\) پس \(f\) در \(x=2\) پیوسته است. همچنین \(\lim_{x\to 2}(|x-2|+1)=1=g(2)\) پس \(g\) هم پیوسته است.

• مشتق‌پذیری:

\[f'_+(2)=\lim_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1,\qquad f'_-(2)=\lim_{h\to 0^-}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1\]
چون مشتق راست و چپ برابر نیستند، \(f'(2)\) موجود نیست. برای \(g\) هم همین محاسبه برقرار است، زیرا \(g(x)-g(2)=f(x)-f(2)\).

پس \(f\) و \(g\) دو تابع مختلف هستند که هر دو در \(x=2\) پیوسته‌اند ولی در این نقطه مشتق‌پذیر نیستند.