جواب کار در کلاس صفحه ۱۰۵ حسابان (2)

حل:

الف) با استفاده از فرمول آهنگ متوسط تغییر:

\[\text{آهنگ متوسط رشد در بازه } [0,25] = \frac{f(25)-f(0)}{25-0}\]

ابتدا مقدارهای تابع را حساب می‌کنیم:

\[f(25)=7\sqrt{25}+50=7\times 5+50=85\]

\[f(0)=7\sqrt{0}+50=50\]

بنابراین:

\[\frac{f(25)-f(0)}{25-0}=\frac{85-50}{25}=\frac{35}{25}=1/4 \ \frac{\text{سانتی‌متر}}{\text{ماه}}\]

یعنی در بازه ۰ تا ۲۵ ماهگی، قد کودک به‌طور متوسط در هر ماه حدود ۱/۴ سانتی‌متر رشد می‌کند.

ب) برای آهنگ لحظه‌ای تغییر، مشتق تابع را پیدا می‌کنیم:

\[f'(x)=7\times\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{7}{2\sqrt{x}}\]

در ۲۵ ماهگی:

\[f'(25)=\frac{7}{2\sqrt{25}}=\frac{7}{2\times 5}=\frac{7}{10}=0/7 \ \frac{\text{سانتی‌متر}}{\text{ماه}}\]

در ۴۹ ماهگی:

\[f'(49)=\frac{7}{2\sqrt{49}}=\frac{7}{2\times 7}=\frac{7}{14}=0/5 \ \frac{\text{سانتی‌متر}}{\text{ماه}}\]

چون \(0/7 > 0/5\) است، آهنگ لحظه‌ای تغییر قد در ۲۵ ماهگی بیشتر از ۴۹ ماهگی است. یعنی کودک در ۲۵ ماهگی سریع‌تر قد می‌کشد.

پ) ابتدا آهنگ متوسط تغییر رشد علی را در بازه ۱۶ تا ۳۶ ماهگی حساب می‌کنیم:

\[\frac{95-80}{36-16}=\frac{15}{20}=0/75 \ \frac{\text{سانتی‌متر}}{\text{ماه}}\]

حالا همین بازه را روی نمودار \(f(x)=7\sqrt{x}+50\) بررسی می‌کنیم:

\[f(16)=7\sqrt{16}+50=7\times 4+50=78\]

\[f(36)=7\sqrt{36}+50=7\times 6+50=92\]

\[\frac{f(36)-f(16)}{36-16}=\frac{92-78}{20}=\frac{14}{20}=0/7 \ \frac{\text{سانتی‌متر}}{\text{ماه}}\]

مقایسه: آهنگ متوسط رشد علی (\(0/75\)) کمی بیشتر از آهنگ متوسط رشد کودک نمونه روی نمودار (\(0/7\)) است. پس علی در این فاصله زمانی کمی سریع‌تر از میانگین رشد این نمودار قد کشیده است.