جواب کار در کلاس صفحه ۱۰۸ حسابان (2)

الف) سرعت هنگام پرتاب و هنگام برخورد به زمین

ابتدا تابع سرعت لحظه‌ای را با مشتق تابع ارتفاع به‌دست می‌آوریم:

\[h(t)=-5t^2+40t \Rightarrow h'(t)=-10t+40\]

سرعت هنگام پرتاب: لحظه پرتاب \(t=0\) است:

\[h'(0)=-10(0)+40=40\ \text{m/s}\]

سرعت هنگام برخورد به زمین: جسم وقتی به زمین می‌رسد که ارتفاع صفر شود:

\[h(t)=0 \Rightarrow -5t^2+40t=0 \Rightarrow -5t(t-8)=0 \Rightarrow t=0 \quad \text{یا} \quad t=8\]

\(t=0\) لحظه پرتاب است، پس لحظه برخورد \(t=8\) ثانیه است:

\[h'(8)=-10(8)+40=-40\ \text{m/s}\]

بنابراین سرعت هنگام برخورد به زمین \(-40\ \text{m/s}\) است. علامت منفی نشان می‌دهد که جسم رو به پایین حرکت می‌کند.

ب) سرعت متوسط در بازه زمانی \([5,8]\)

\[h(5)=-5(5)^2+40(5)=-125+200=75\]
\[h(8)=-5(8)^2+40(8)=-320+320=0\]

\[\frac{h(8)-h(5)}{8-5}=\frac{0-75}{3}=-25\ \text{m/s}\]

سرعت متوسط جسم در این بازه \(-25\ \text{m/s}\) است.

پ) لحظاتی که سرعت جسم \(35\ \text{m/s}\) و \(-35\ \text{m/s}\) است

برای \(35\ \text{m/s}\):

\[h'(t)=35 \Rightarrow -10t+40=35 \Rightarrow -10t=-5 \Rightarrow t=0/5\]

در لحظه \(t=0/5\) ثانیه سرعت جسم \(35\ \text{m/s}\) است.

برای \(-35\ \text{m/s}\):

\[h'(t)=-35 \Rightarrow -10t+40=-35 \Rightarrow -10t=-75 \Rightarrow t=7/5\]

در لحظه \(t=7/5\) ثانیه سرعت جسم \(-35\ \text{m/s}\) است.