جواب کار در کلاس صفحه ۸۹ حسابان (2)

با توجه به شرط‌های ناپذیری مشتق در یک نقطه، که در درس گفته شد، هر شکل را بررسی می‌کنیم. تابع در نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیست اگر:

۱. در آن نقطه پیوسته نباشد، یا
۲. در آن نقطه پیوسته باشد ولی نقطه گوشه‌ای داشته باشد (مشتق راست و چپ نابرابر باشند)، یا
۳. مماس قائم داشته باشد (مشتق راست و چپ نامتناهی باشند).

شکل بالا، سمت چپ:
در \(x_1\) منحنی به‌صورت هموار از محور \(x\) بالا می‌آید، پس مشتق‌پذیر است.
در \(x_2\) (نقطه قله) منحنی از سمت چپ به قله می‌رسد و از همان نقطه خط راستی با شیب منفی آغاز می‌شود. یعنی از دو طرف شیب‌های متفاوتی داریم، پس گوشه‌ای است و تابع در \(x_2\) مشتق‌پذیر نیست.
در \(x_3\) روی خط راست هستیم و تابع هموار است، پس مشتق‌پذیر است.

شکل بالا، وسط:
در \(x_2\) تابع ناپیوسته است (نقطه توپر روی خط و نقطه توخالی بالای آن)، پس مشتق‌پذیر نیست.
در \(x_1\) و \(x_3\) تابع پیوسته و هموار است، پس مشتق‌پذیر است.

شکل بالا، سمت راست:
در \(x_1\) و \(x_3\) منحنی به محور \(x\) می‌رسد و گوشه‌ای تیز دارد، یعنی مشتق راست و چپ نابرابرند. پس تابع در این دو نقطه مشتق‌پذیر نیست.
در \(x_2\) تابع قله هموار دارد و مشتق آن صفر است، پس مشتق‌پذیر است.

شکل پایین، سمت چپ:
در \(x_3\) نمودار به سمت بی‌نهایت می‌رود (خط مجانب قائم)، پس تابع در این نقطه ناپیوسته است و مشتق‌پذیر نیست.
در \(x_1\)، \(x_2\) و \(x_4\) تابع هموار است، پس مشتق‌پذیر است.

شکل پایین، وسط:
در \(x_3\) منحنی به‌صورت قائم بالا می‌رود و خط مماس در این نقطه قائم است. پس مشتق‌پذیر نیست.
در \(x_1\) و \(x_2\) منحنی هموار است، پس مشتق‌پذیر است.

شکل پایین، سمت راست:
در \(x_2\) (مبدأ) منحنی نوک تیز دارد و مماس در آنجا قائم است. پس تابع در \(x_2\) مشتق‌پذیر نیست.
در \(x_1\) و \(x_3\) منحنی هموار است، پس مشتق‌پذیر است.

نتیجه:

• شکل بالا، سمت چپ: \(x_2\)
• شکل بالا، وسط: \(x_2\)
• شکل بالا، سمت راست: \(x_1\) و \(x_3\)
• شکل پایین، سمت چپ: \(x_3\)
• شکل پایین، وسط: \(x_3\)
• شکل پایین، سمت راست: \(x_2\)