جواب تمرین صفحه ۴۶ هندسه 3

الف) مرکز \(O(1,1)\) و \(A(3,2)\) روی دایره است، پس شعاع برابر \(OA\) است:
\[r^2=OA^2=(3-1)^2+(2-1)^2=4+1=5\]
\[(x-1)^2+(y-1)^2=5\]

ب) شعاع برابر فاصلهٔ مرکز از خط \(3x+4y=0\) است:
\[r=\frac{|3(2)+4(1)|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2\]
\[(x-2)^2+(y-1)^2=4\]

پ) ابتدا فاصلهٔ مرکز از خط \(x+y-1=0\) را به‌دست می‌آوریم:
\[d=\frac{|-1-1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\]
وتر به طول ۲ است، پس نصف وتر برابر ۱ است. با رابطهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویهٔ مرکز، نیمِ وتر و شعاع:
\[r^2=d^2+1^2=\frac{9}{2}+1=\frac{11}{2}\]
\[(x+1)^2+(y+1)^2=\frac{11}{2}\]

ت) مرکز دایره، محل برخورد دو قطر است. با حل دستگاه:
\[\begin{cases} x+y=1\\ x-y=3 \end{cases} \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2,\ y=-1 \Rightarrow O(2,-1)\]
شعاع برابر فاصلهٔ مرکز از خط \(4x+3y-6=0\) است:
\[r=\frac{|4(2)+3(-1)-6|}{5}=\frac{|-1|}{5}=\frac{1}{5}\]
\[(x-2)^2+(y+1)^2=\frac{1}{25}\]

ث) چون خط \(y=2x-1\) شامل یک قطر است، مرکز روی آن است. مختصات مرکز را \(O(a,2a-1)\) می‌گیریم. فاصلهٔ مرکز از \(A\) و \(B\) برابر است:
\[(a-1)^2+(2a-3)^2=(a-3)^2+(2a-1)^2\]
\[5a^2-14a+10=5a^2-10a+10 \Rightarrow a=0\]
پس \(O(0,-1)\). شعاع:
\[r^2=OA^2=(0-1)^2+(-1-2)^2=1+9=10\]
\[x^2+(y+1)^2=10\]
(کنترل: \(B(3,0)\): \(9+1=10\) ✓)