جواب فعالیت صفحه ۴۵ هندسه 3

روش اول: معادلهٔ خط را به‌صورت \(y=4-x\) می‌نویسیم و در معادلهٔ دایره جایگزین می‌کنیم:

\[x^2+(4-x)^2-2(4-x)-3=0 \Rightarrow\]
\[x^2+16-8x+x^2-8+2x-3=0 \Rightarrow\]
\[2x^2-6x+5=0\]

برای این معادلهٔ درجهٔ دوم، \(a=2,\ b=-6,\ c=5\) است، پس:

\[\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 2\times 5=36-40=-4\]

چون \(\Delta<0\) است، معادلهٔ فوق ریشهٔ حقیقی ندارد. بنابراین خط و دایره نقطهٔ برخورد ندارند.

روش دوم: معادلهٔ دایره را استاندارد می‌کنیم:

\[x^2+y^2-2y-3=0 \Rightarrow x^2+(y^2-2y+1)-1-3=0 \Rightarrow\]
\[x^2+(y-1)^2=4 \Rightarrow O(0,1),\ r=2\]

فاصلهٔ مرکز دایره \(O(0,1)\) از خط \(x+y-4=0\) برابر است با:

\[d=\frac{|0+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2.12\]

حالا \(d\) را با \(r\) مقایسه می‌کنیم: \(d\approx 2.12>2=r\). پس فاصلهٔ مرکز از خط بیشتر از شعاع است و خط دایره را قطع نمی‌کند. این نتیجه با روش اول یکی است.

نتیجه‌گیری: خط \(x+y=4\) و دایرهٔ \(x^2+y^2-2y-3=0\) نقطهٔ مشترک ندارند و خط بیرون دایره است.

رسم شکل: دایرهٔ به مرکز \(O(0,1)\) و شعاع 2 و خط \(x+y=4\) را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم. دیده می‌شود که خط از دایره فاصله دارد و آن را قطع نمی‌کند.