جواب کار در کلاس صفحه ۹۰ ریاضی (1)

الف) حل نامعادلهٔ \(x^2 \le 4\)

روش هندسی: نامعادله را به شکل \(x^2-4 \le 0\) می‌نویسیم. نمودار \(y=x^2-4\) یک سهمی رو به بالا است (چون ضریب \(x^2\) مثبت است). ریشه‌های معادلهٔ \(x^2-4=0\) عبارت‌اند از \(x=-2\) و \(x=2\). نمودار سهمی در فاصلهٔ بین دو ریشه، یعنی وقتی \(-2 \le x \le 2\)، زیر یا روی محور \(x\)هاست. پس جواب نامعادله \([-2,\,2]\) است.

روش جدول تعیین علامت: ابتدا \(x^2-4\) را تجزیه می‌کنیم:
\[x^2-4=(x-2)(x+2)\]

از جدول، عبارت \(x^2-4\) در بازهٔ \([-2,2]\) منفی یا صفر است. پس مجموعه جواب \([-2,\,2]\) است.

\[\{x\in\mathbb{R}\mid -2\le x\le 2\}=[-2,2]\]

ب) حل نامعادلهٔ \(3x^2-x-2 \ge 0\)

ابتدا ریشه‌های معادلهٔ \(3x^2-x-2=0\) را به دست می‌آوریم:
\[\Delta=(-1)^2-4(3)(-2)=1+24=25\]
\[x_1=\frac{1+5}{6}=1 \qquad , \qquad x_2=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3}\]

چون \(a=3>0\) است، می‌توانیم بنویسیم:
\[3x^2-x-2=3\left(x-1\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)=(x-1)(3x+2)\]

روش هندسی: نمودار \(y=3x^2-x-2\) سهمی‌ای رو به بالا با ریشه‌های \(-\frac{2}{3}\) و \(1\) است. نمودار وقتی روی محور \(x\)ها یا بالای آن است که \(x\le -\frac{2}{3}\) یا \(x\ge 1\) باشد. پس جواب \(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right]\cup[1,+\infty)\) است.

روش جدول تعیین علامت:

از جدول، عبارت \(3x^2-x-2\) در \(x\le -\frac{2}{3}\) و \(x\ge 1\) مثبت یا صفر است. پس:
\[\{x\in\mathbb{R}\mid x\le -\tfrac{2}{3}\ \text{یا}\ x\ge 1\}=\left(-\infty,-\tfrac{2}{3}\right]\cup[1,+\infty)\]