جواب فعالیت صفحه ۹۰ ریاضی (1)

الف) با توجه به نمودار، سهمی زیر محور \(x\)ها قرار می‌گیرد وقتی که نقطه‌های آن پایین محور \(x\) باشند. نمودار محور \(x\) را در \(x=-1\) و \(x=3\) قطع می‌کند و بین این دو نقطه پایین محور است. پس:

\[-1 < x < 3\]

ب) ابتدا ریشه‌های معادلهٔ \(y=0\) را به‌دست می‌آوریم:

\[x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x+1)(x-3)=0 \Rightarrow x=-1 \quad \text{یا} \quad x=3\]

دو ریشهٔ \(-1\) و \(3\) را در جدول می‌نویسیم. ضریب \(x^2\) مثبت است (\(a=1>0\))، پس سهمی رو به بالاست و علامت \(y\) در دو طرف ریشه‌ها مثبت و بین آن‌ها منفی است.

از جدول دیده می‌شود که برای \(-1 < x < 3\) علامت \(y\) منفی است.

پ) نامعادلهٔ \(x^2-2x-3>0\) یعنی \(y>0\). یعنی می‌خواهیم مقادیری از \(x\) را پیدا کنیم که نمودار بالای محور \(x\)ها باشد.

• در قسمت الف دیدیم که نمودار برای \(-1<x<3\) پایین محور \(x\)هاست؛ یعنی در این بازه \(y<0\) است.
• در قسمت ب هم دیدیم که \(y\) فقط در \(-1<x<3\) منفی است و در بقیهٔ \(x\)ها مثبت است؛ یعنی برای \(x<-1\) و \(x>3\) داریم \(y>0\).

پس جواب نامعادلهٔ \(x^2-2x-3>0\) همان مقادیری است که در آن‌ها \(y\) مثبت است:

\[x<-1 \quad \text{یا} \quad x>3\]

یعنی مجموعهٔ جواب‌های قسمت الف را کنار می‌گذاریم و بقیهٔ محور اعداد جواب این نامعادله است. بنابراین می‌توان از نتیجهٔ قسمت‌های الف و ب برای حل نامعادله استفاده کرد.