جواب تمرین صفحه ۹۳ ریاضی (1)

الف) \(1 < 2x-3 \leq 3\)

به هر سه قسمت نامعادله \(3\) را اضافه می‌کنیم:
\[4 < 2x \leq 6\]
هر سه قسمت را در \(\frac{1}{2}\) ضرب می‌کنیم:
\[2 < x \leq 3\]
مجموعه جواب: \((2,3]\)

ب) \(x+1 \leq 5-x < 2x+3\)

این نامعادلهٔ دوگانه را به دو نامعادله تبدیل می‌کنیم:
\[\begin{cases} x+1 \leq 5-x \Rightarrow 2x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2 \\ 5-x < 2x+3 \Rightarrow 2 < 3x \Rightarrow x > \frac{2}{3} \end{cases}\]
اشتراک دو جواب را می‌گیریم:
مجموعه جواب: \(\left(\frac{2}{3}, 2\right]\)

پ) \(-2 < \frac{5-x}{2} < 0\)

هر سه قسمت را در \(2\) ضرب می‌کنیم:
\[-4 < 5-x < 0\]
از هر سه قسمت \(5\) کم می‌کنیم:
\[-9 < -x < -5\]
هر سه قسمت را در \(-1\) ضرب می‌کنیم و جهت نامساوی‌ها عوض می‌شود:
\[5 < x < 9\]
مجموعه جواب: \((5,9)\)

ت) \(\frac{4-2x}{3x+1} \geq 0\)

ریشه‌های صورت و مخرج را پیدا می‌کنیم: \(4-2x=0 \Rightarrow x=2\) و \(3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}\).

عبارت در \(-\frac{1}{3}<x\leq 2\) نامنفی است.
مجموعه جواب: \(\left(-\frac{1}{3}, 2\right]\)

ث) \(x(x^2+4) < 0\)

چون \(x^2+4 > 0\) برای هر \(x\) است، علامت حاصل‌ضرب فقط به علامت \(x\) بستگی دارد. پس باید \(x<0\) باشد.
مجموعه جواب: \((-\infty, 0)\)

ج) \(\frac{x^3-x}{x^2-2x+2} \leq 0\)

مخرج همواره مثبت است، زیرا \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\). صورت را تجزیه می‌کنیم:
\[x^3-x = x(x-1)(x+1)\]
ریشه‌های صورت \(-1\)، \(0\) و \(1\) هستند.

عبارت در \(x\leq -1\) و \(0\leq x\leq 1\) نامثبت است.
مجموعه جواب: \((-\infty,-1]\cup[0,1]\)

چ) \(|7-2x| < 1\)

طبق خواص قدر مطلق:
\[-1 < 7-2x < 1\]
از هر سه قسمت \(7\) کم می‌کنیم:
\[-8 < -2x < -6\]
هر سه قسمت را در \(-\frac{1}{2}\) ضرب می‌کنیم و جهت نامساوی‌ها عوض می‌شود:
\[3 < x < 4\]
مجموعه جواب: \((3,4)\)

ح) \(\left|\frac{x-1}{2}-1\right| \geq 3\)

ابتدا داخل قدر مطلق را ساده می‌کنیم:
\[\frac{x-1}{2}-1 = \frac{x-3}{2}\]
پس نامعادله به صورت زیر می‌شود:
\[\left|\frac{x-3}{2}\right| \geq 3 \Rightarrow \frac{|x-3|}{2} \geq 3 \Rightarrow |x-3| \geq 6\]
طبق خواص قدر مطلق:
\[x-3 \geq 6 \Rightarrow x \geq 9 \qquad \text{یا} \qquad x-3 \leq -6 \Rightarrow x \leq -3\]
مجموعه جواب: \((-\infty,-3]\cup[9,+\infty)\)