جواب فعالیت صفحه ۸۱ ریاضی (1)

ریاضی (1)

ریاضی (1) | درس دوم: سهمی

صفحه ۸۱

سؤال 1

معادلۀ دو سهمی به‌صورت \(y = 2x^2 + 1\) و \(y = \dfrac{x^2}{2} + 1\) است.

الف) مختصات رأس و دو نقطۀ دیگر از این دو سهمی را در جدول زیر مشخص کنید و سپس نمودار هر دو سهمی را در شکل مقابل رسم کنید و نشان دهید که مختصات رأس هر دو سهمی نقطۀ \(A(0,1)\) است.

x	\(y = 2x^2+1\)	(x,y)
...	...	...
...	...	...
...	...	...

x	\(y = \dfrac{x^2}{2}+1\)	(x,y)
...	...	...
...	...	...
...	...	...

ب) معادلۀ سهمی دیگری را که نقطۀ A رأس آن است، بنویسید و آن را در دستگاه بالا رسم کنید.

پاسخ

الف) معادلهٔ هر دو سهمی به شکل \(y=ax^2+c\) است، پس رأس هر دو روی محور \(y\) و خط تقارن آن‌ها \(x=0\) است. برای پیدا کردن چند نقطه، به جای \(x\) مقدارهای مختلف می‌گذاریم.

برای \(y = 2x^2+1\):

x	\(y = 2x^2+1\)	\((x,y)\)
\(-1\)	\(y=2(-1)^2+1=2+1=3\)	\((-1,3)\)
\(0\)	\(y=2(0)^2+1=0+1=1\)	\((0,1)\)
\(1\)	\(y=2(1)^2+1=2+1=3\)	\((1,3)\)

برای \(y = \dfrac{x^2}{2}+1\):

x	\(y = \dfrac{x^2}{2}+1\)	\((x,y)\)
\(-2\)	\(y=\dfrac{(-2)^2}{2}+1=\dfrac{4}{2}+1=2+1=3\)	\((-2,3)\)
\(0\)	\(y=\dfrac{0}{2}+1=0+1=1\)	\((0,1)\)
\(2\)	\(y=\dfrac{2^2}{2}+1=\dfrac{4}{2}+1=3\)	\((2,3)\)

نقاط هر جدول را در دستگاه مختصات مشخص می‌کنیم و به هم وصل می‌کنیم. در هر دو سهمی، کمترین مقدار \(y\) برابر \(1\) است و در \(x=0\) به دست می‌آید. پس رأس هر دو سهمی نقطهٔ \(A(0,1)\) است.

ب) معادلهٔ سهمی‌ای که رأس آن \(A(0,1)\) باشد، به شکل \(y=a x^2+1\) است. برای مثال \(a=-1\) را انتخاب می‌کنیم:
\[y=-x^2+1\]
چون \(a=-1<0\) است، سهمی رو به پایین است و \(A\) بالاترین نقطهٔ آن است. چند نقطه برای رسم: