جواب تمرین صفحه ۸۱ ریاضی (1)

ریاضی (1)

ریاضی (1) | درس دوم: سهمی

صفحه ۸۱

سؤال 1

۱. نمودار هر یک از سهمی‌های زیر را رسم کنید.
الف) \(y = -(x+1)^2 - 3\)
ب) \(y = 3x^2 - 2\)
پ) \(y = x - x^2\)
ت) \(y = \dfrac{x^2}{2} + x - 4\)

پاسخ

الف) \(y=-(x+1)^2-3\)

این سهمی به صورت \(y=a(x-h)^2+k\) است که \(a=-1\)، \(h=-1\) و \(k=-3\) است. پس رأس سهمی نقطهٔ \((-1,-3)\) است. چون \(a<0\) است، سهمی رو به پایین است و رأس بالاترین نقطهٔ آن است.

x	\(y=-(x+1)^2-3\)	\((x,y)\)
-3	\(y=-(-2)^2-3=-7\)	\((-3,-7)\)
-2	\(y=-(-1)^2-3=-4\)	\((-2,-4)\)
-1	\(y=-(0)^2-3=-3\)	\((-1,-3)\)
0	\(y=-(1)^2-3=-4\)	\((0,-4)\)
1	\(y=-(2)^2-3=-7\)	\((1,-7)\)

نقاط را در دستگاه مختصات مشخص کرده و به هم وصل می‌کنیم.

ب) \(y=3x^2-2\)

این سهمی به صورت \(y=ax^2+bx+c\) است که \(a=3\)، \(b=0\) و \(c=-2\) است. چون \(a>0\) است، سهمی رو به بالا است. رأس آن \(x=-\frac{b}{2a}=0\) و \(y=-2\) است، یعنی \((0,-2)\).

x	\(y=3x^2-2\)	\((x,y)\)
-2	\(y=3(4)-2=10\)	\((-2,10)\)
-1	\(y=3(1)-2=1\)	\((-1,1)\)
0	\(y=3(0)-2=-2\)	\((0,-2)\)
1	\(y=3(1)-2=1\)	\((1,1)\)
2	\(y=3(4)-2=10\)	\((2,10)\)

پ) \(y=x-x^2\)

ابتدا سمت راست را به شکل مربع کامل می‌نویسیم:
\[y=-(x^2-x)=-\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+\tfrac{1}{4}\]
پس رأس سهمی \(\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)\) است و چون \(a=-1<0\) سهمی رو به پایین است.

x	\(y=x-x^2\)	\((x,y)\)
-1	\(y=-1-1=-2\)	\((-1,-2)\)
0	\(y=0-0=0\)	\((0,0)\)
\(\frac{1}{2}\)	\(y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)	\(\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)\)
1	\(y=1-1=0\)	\((1,0)\)
2	\(y=2-4=-2\)	\((2,-2)\)

ت) \(y=\dfrac{x^2}{2}+x-4\)

ابتدا سمت راست را به شکل مربع کامل می‌نویسیم:
\[y=\tfrac{1}{2}(x^2+2x)-4=\tfrac{1}{2}\big[(x+1)^2-1\big]-4=\tfrac{1}{2}(x+1)^2-\tfrac{9}{2}\]
پس رأس سهمی \((-1,-\tfrac{9}{2})\) است و چون \(a=\tfrac12>0\) سهمی رو به بالا است.