جواب فعالیت صفحه ۸۰ ریاضی (1)

الف) ابتدا ضریب \(a\) را از دو جملهٔ اول فاکتور می‌گیریم:

\[y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c\]

برای اینکه داخل پرانتز مربع کامل شود، عدد \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) را اضافه و کم می‌کنیم:

\[y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right) + c\]

سه جملهٔ اول داخل پرانتز، مربع کامل \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\) است:

\[y = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - a\cdot\frac{b^2}{4a^2} + c\]

\[y = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c\]

حالا \(c\) را به کسر با مخرج \(4a\) تبدیل می‌کنیم:

\[c = \frac{4ac}{4a}\]

پس:

\[y = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}\]

ب) معادلهٔ به‌دست‌آمده را با شکل \(y = a(x-h)^2 + k\) مقایسه می‌کنیم. عبارت داخل پرانتز را برابر صفر قرار می‌دهیم تا ریشهٔ آن به‌دست آید:

\[x+\frac{b}{2a} = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}\]

پس \(h = -\frac{b}{2a}\) و \(k = \frac{4ac-b^2}{4a}\).

چون هر سهمی به شکل \(y=a(x-h)^2+k\) رأسی به مختصات \((h,k)\) دارد، پس رأس این سهمی نقطهٔ

\[\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)\]

است. همچنین خط تقارن سهمی، خطی است که از رأس می‌گذرد و معادلهٔ آن \(x=h\) است، یعنی:

\[x = -\frac{b}{2a}\]

<!-- item end -->