جواب کار در کلاس صفحه ۷۴ ریاضی (1)

الف) \(x^2+2x=24\)

جمله‌ای را که کم داریم اضافه می‌کنیم تا سمت چپ مربع کامل شود. نصف ضریب \(x\) برابر \(1\) است و مربع آن \(1\) می‌شود.

\[x^2+2x+1=24+1\]
به دو طرف معادله \(1\) را اضافه کرده‌ایم.

\[(x+1)^2=25\]
سمت چپ را به شکل مربع کامل می‌نویسیم.

\[x+1=\pm\sqrt{25}=\pm 5\]
از دو طرف معادله ریشهٔ دوم می‌گیریم.

\[x=-1\pm 5\]
به دو طرف معادله عدد \(-1\) را اضافه کرده‌ایم.

بنابراین \(x=4\) و \(x=-6\).

ب) \(t^2+3t=3\)

نصف ضریب \(t\) برابر \(\frac{3}{2}\) و مربع آن \(\frac{9}{4}\) است.

\[t^2+3t+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}\]
به دو طرف معادله \(\frac{9}{4}\) را اضافه کرده‌ایم تا سمت چپ مربع کامل شود.

\[\left(t+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{21}{4}\]
سمت چپ را به شکل مربع کامل می‌نویسیم.

\[t+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}\]
از دو طرف معادله ریشهٔ دوم می‌گیریم.

\[t=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}\]
به دو طرف معادله \(-\frac{3}{2}\) را اضافه کرده‌ایم.

بنابراین جواب‌ها \(\frac{-3+\sqrt{21}}{2}\) و \(\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\) هستند.

پ) \(n^2-4n+5=0\)

ابتدا عدد \(5\) را به طرف دیگر می‌بریم.

\[n^2-4n=-5\]
\(5\) را از دو طرف معادله کم کرده‌ایم.

نصف ضریب \(n\) برابر \(-2\) و مربع آن \(4\) است.

\[n^2-4n+4=-5+4\]
به دو طرف معادله \(4\) را اضافه کرده‌ایم.

\[(n-2)^2=-1\]
سمت چپ را به شکل مربع کامل می‌نویسیم.

مربع هیچ عدد حقیقی‌ای نمی‌تواند منفی باشد، پس \((n-2)^2=-1\) جواب حقیقی ندارد. بنابراین این معادله در مجموعهٔ اعداد حقیقی جواب ندارد.

ت) \(2r^2+r-2=0\)

ابتدا ضریب \(r^2\) را برابر \(1\) می‌کنیم، یعنی دو طرف معادله را بر \(2\) تقسیم می‌کنیم.

\[r^2+\frac{1}{2}r-1=0\]
دو طرف معادله بر \(2\) تقسیم شده‌اند.

\[r^2+\frac{1}{2}r=1\]
\(-1\) را به طرف دیگر برده‌ایم.

نصف ضریب \(r\) برابر \(\frac{1}{4}\) و مربع آن \(\frac{1}{16}\) است.

\[r^2+\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}\]
به دو طرف معادله \(\frac{1}{16}\) را اضافه کرده‌ایم.

\[\left(r+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{17}{16}\]
سمت چپ را به شکل مربع کامل می‌نویسیم.

\[r+\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}\]
از دو طرف معادله ریشهٔ دوم می‌گیریم.

\[r=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}\]
به دو طرف معادله \(-\frac{1}{4}\) را اضافه کرده‌ایم.

بنابراین جواب‌ها \(\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\) و \(\frac{-1-\sqrt{17}}{4}\) هستند.