جواب می‌دانیم صفحه ۶۱ ریاضی (1)

ابتدا با استفاده از تعریف توان کسری، هر طرف تساوی را به شکل توان کسری می‌نویسیم. چون \(a>0\) است:

\[\sqrt[kn]{a^{km}} = a^{\frac{km}{kn}}\]

کسر \(\frac{km}{kn}\) را ساده می‌کنیم، زیرا \(k\) در صورت و مخرج هست و \(k\neq 0\):

\[\frac{km}{kn} = \frac{m}{n}\]

پس:

\[\sqrt[kn]{a^{km}} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\]

بنابراین تساوی \(\sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m}\) برای هر \(a>0\) و هر \(n\)، \(m\) و \(k\) طبیعی همواره برقرار است.

نتیجه‌گیری:

الف) در \(\sqrt[6]{2^3}\) داریم \(6 = 2\times 3\) و \(3 = 1\times 3\). پس \(k=3\)، \(n=2\)، \(m=1\):

\[\sqrt[6]{2^3} = \sqrt[2\times 3]{2^{1\times 3}} = \sqrt[2]{2^1} = \sqrt{2}\]

ب) در \(\sqrt[4]{2^2}\) داریم \(4 = 2\times 2\) و \(2 = 1\times 2\). پس \(k=2\)، \(n=2\)، \(m=1\):

\[\sqrt[4]{2^2} = \sqrt[2\times 2]{2^{1\times 2}} = \sqrt{2}\]

پ) عدد \(\sqrt{2}\) خودش است.

پس هر سه عدد \(\sqrt[6]{2^3}\)، \(\sqrt[4]{2^2}\) و \(\sqrt{2}\) با هم برابرند.