جواب تمرین صفحه ۶۱ ریاضی (1)

با استفاده از تعریف \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) و \(a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\) عمل می‌کنیم:

\[16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4\]

\[5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\]
(عدد 5 مربع کامل نیست، پس حاصل عددی صحیح نیست.)

\[4^{\frac{3}{7}}=\sqrt[7]{4^3}=\sqrt[7]{64}\]
(حاصل صحیح ندارد.)

\[3^{\frac{1}{3}}\times 3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{3}\times\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{3}\times\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3\]
(با قاعدهٔ \(a^r\times a^s=a^{r+s}\) هم داریم: \(3^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=3^1=3\).)

\[\left(4^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt{4}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(2\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}\]
(با قاعدهٔ \((a^r)^s=a^{rs}\) هم داریم: \(4^{\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}}=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}\).)

\[4^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\times 2}=2\sqrt[3]{2}\]

\[32^{-\frac{1}{5}}=\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{32}}=\frac{1}{\sqrt[5]{2^5}}=\frac{1}{2}\]

\[3^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{3^2}=\sqrt[5]{9}\]
(حاصل صحیح ندارد.)

\[125^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{125^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{125^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{15625}}=\frac{1}{25}\]
(چون \(125=5^3\) است، \(\sqrt[3]{125}=5\) و سپس \(\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\).)