جواب تمرین صفحه ۵۷ ریاضی (1)

الف)

\[(0.5)^2 = 0.25 \qquad (0.5)^3 = 0.125\]
پس \((0.5)^2 > (0.5)^3\).

\[\sqrt{0.5} \approx 0.71 \qquad \sqrt[3]{0.5} \approx 0.79\]
پس \(\sqrt{0.5} < \sqrt[3]{0.5}\).

\[4^2 = 16 \qquad 4^3 = 64\]
پس \(4^2 < 4^3\).

\[\sqrt{4} = 2 \qquad \sqrt[3]{4} \approx 1.59\]
پس \(\sqrt{4} > \sqrt[3]{4}\).

ب) وقتی \(1 > a > 0\) است، مثلاً \(a = 0.5\) را در نظر می‌گیرم:

\[(0.5)^2 = 0.25 \qquad (0.5)^3 = 0.125\]
\[a^2 > a^3\]
چون \(a^3 = a^2 \times a\) و \(a\) کوچک‌تر از ۱ است، پس \(a^3\) از \(a^2\) کوچک‌تر است.

\[\sqrt{0.25} = 0.5 \qquad \sqrt[3]{0.25} \approx 0.63\]
برای \(a = 0.25\) داریم \(\sqrt{a} < \sqrt[3]{a}\). پس:
\[a^2 > a^3 \qquad \sqrt{a} < \sqrt[3]{a}\]

پ) وقتی \(a > 1\) است، مثلاً \(a = 2\) و \(a = 64\) را امتحان می‌کنیم:

\[2^2 = 4 \qquad 2^3 = 8\]
\[a^2 < a^3\]

\[\sqrt{64} = 8 \qquad \sqrt[3]{64} = 4\]
\[\sqrt{a} > \sqrt[3]{a}\]