جواب تمرین صفحه ۸ ریاضیات گسسته

حل:

الف) چون \(x\) و \(y\) هم‌علامت‌اند، \(xy>0\). بنابراین می‌توان دو طرف نامساوی را در \(xy\) ضرب کرد:
\[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2 \Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{xy}\geq 2 \Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy\]
\[\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\geq 0 \Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0 \quad \text{همواره برقرار است.}\]
پس حکم ثابت شد.

ب) با ضرب دو طرف در \(2\) داریم:
\[x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx \Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2\geq 2xy+2yz+2zx\]
\[\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0 \quad \text{همواره برقرار است.}\]
پس حکم ثابت شد.

پ) با ضرب دو طرف در \(2\) داریم:
\[x^2+y^2+1\geq xy+x+y \Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2\geq 2xy+2x+2y\]
\[\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0 \quad \text{همواره برقرار است.}\]
پس حکم ثابت شد.