جواب کار در کلاس صفحه ۵ ریاضیات گسسته

حل: دو حالت را بررسی می‌کنیم.

الف) اگر \(a\) زوج باشد، یعنی \(a=2k\) \((k\in\mathbb{Z})\)، در این حالت داریم:
\[ab=2k\,b\]
که حاصل یک عدد زوج است. اما طبق فرض \(ab\) فرد است، پس این حالت ممکن نیست. بنابراین \(a\) فرد است.

ب) اگر \(b\) زوج باشد، یعنی \(b=2m\) \((m\in\mathbb{Z})\)، آنگاه:
\[ab=a\,(2m)=2am\]
که باز هم زوج است و با فرض فرد بودن \(ab\) در تناقض است. پس \(b\) هم فرد است.

حال چون \(a\) و \(b\) فرد هستند، می‌نویسیم \(a=2k+1\) و \(b=2m+1\) \((k,m\in\mathbb{Z})\). در این صورت:
\[a^2+b^2=(2k+1)^2+(2m+1)^2=4k^2+4k+1+4m^2+4m+1\]
\[=4k^2+4k+4m^2+4m+2=2\left(2k^2+2k+2m^2+2m+1\right)\]
که نشان می‌دهد \(a^2+b^2\) عددی زوج است.