جواب تمرین صفحه ۲۹ ریاضیات گسسته

۲. اگر \(k\in\mathbb{Z}\)، ثابت کنید فقط یکی از سه حالت زیر امکان‌پذیر است:

۳. اگر \(a \overset{m}{\equiv} b\) و \(n\mid m\)، ثابت کنید \(a \overset{n}{\equiv} b\).

۴. فرض کنیم، \(a \overset{m}{\equiv} b\) و \(b \overset{n}{\equiv} c\) و \((m,n)=d\). در این صورت ثابت کنید \(a \overset{d}{\equiv} c\).

۵. ثابت کنید: اگر باقی‌مانده‌های تقسیم دو عدد \(a\) و \(b\) بر \(m\) مساوی باشند آن‌گاه \(a \overset{m}{\equiv} b\).

۶. عکس تمرین ۵ را بیان و اثبات کنید.

۷. با استفاده از بسط دو جمله‌ای خیّام یعنی،

۸. با توجه به تمرین ۷ ثابت کنید عدد \(23^{51}-11^{51}-12^{51}\) بر عدد ۱۳۲ بخش‌پذیر است.

۹. باقی‌مانده تقسیم عدد \(A = 9\times(2^{11}+7)\) را بر ۲۳ بیابید.

۱۰. اگر دو عدد \((3a-5)\) و \((4a-7)\) رقم یکان برابر داشته باشند رقم یکان عدد \((9a+6)\) را به‌دست آورید.

۱۱. باقی‌مانده تقسیم عدد \(A = 1!+2!+3!+\ldots+500!\) را بر ۱۰ به‌دست آورید (رقم یکان \(A\) را بیابید).

۱۲. جواب‌های عمومی معادلهٔ سیالهٔ خطی \(7x+5y=11\) را به‌دست آورید.

۱۳. به چند طریق می‌توان ۲۹۰۰۰ تومان را به اسکناس‌های ۲۰۰۰ و ۵۰۰۰ تومانی تبدیل کرد؟

۱۴. معادله‌های هم‌نهشتی زیر را در صورت امکان حل کرده و جواب‌های عمومی آنها را به‌دست آورید.

۱۵. اگر اول مهر ماه در یک سال روز یکشنبه باشد، ۷ اسفندماه در همان سال چه روزی از هفته است؟

۱۶. اگر ۱۲ بهمن در یک سال جمعه باشد، ۳۱ مرداد ماه در همان سال چه روزی از هفته است؟

۱۷. همهٔ اعداد صحیح چون \(a\) را بیابید که \(5\) برابر آنها به‌علاوهٔ \(9\) بر \(11\) بخش‌پذیر باشد.

۱۸. به چند طریق می‌توان یک کیسهٔ ۲۳ کیلویی را با وزن‌های ۳ و ۵ کیلویی وزن کرد؟

۱۹. به چند طریق می‌توان از بین دو نوع گل یک دسته گل شامل ۹ شاخه به دلخواه انتخاب کرد؟

۲۰. شخصی در یک مسابقهٔ علمی شرکت کرده است. او به سؤالات ۷ امتیازی و ۹ امتیازی پاسخ داده و مجموعاً ۷۳ امتیاز کسب کرده است. این شخص به چه صورت‌هایی توانسته این امتیاز را به‌دست آورد؟ (پاسخ به هر سؤال یا امتیاز کامل دارد و یا امتیازی ندارد)