جواب کار در کلاس صفحه ۲۷ ریاضیات گسسته

با تبدیل معادلهٔ سیّاله به معادلهٔ هم‌نهشتی شروع می‌کنیم:

\[4x+5y=9 \Rightarrow 4x \overset{5}{\equiv} 9\]

چون \(5y\) بر 5 بخش‌پذیر است، آن را از سمت راست کم می‌کنیم:

\[\Rightarrow 4x \overset{5}{\equiv} 9 - 5y \Rightarrow 4x \overset{5}{\equiv} 4\]

چون \((4,5)=1\)، دو طرف را بر 4 تقسیم می‌کنیم:

\[\Rightarrow x \overset{5}{\equiv} 1 \Rightarrow x = 5k+1\]

\[(5 \mid x-1 \Rightarrow x-1=5k \Rightarrow x=5k+1)\]

این مقدار \(x\) را در معادلهٔ اصلی قرار می‌دهیم:

\[4(5k+1)+5y=9 \Rightarrow 20k+4+5y=9 \Rightarrow 20k+5y=5\]

دو طرف را بر 5 تقسیم می‌کنیم:

\[\Rightarrow 4k+y=1 \Rightarrow y=-4k+1\]

بنابراین جواب‌های عمومی معادلهٔ سیّاله به‌صورت زیر است:

\[\begin{cases} x=5k+1 \\ y=-4k+1 \end{cases} \qquad k\in\mathbb{Z}\]

درستی جواب: \(4(5k+1)+5(-4k+1)=20k+4-20k+5=9\) ✓