جواب بدون عنوان صفحه ۱۳ ریاضیات گسسته

در تعریف بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب م م) دو شرط آمده است و هر کدام کار مشخصی دارند:

شرط (الف): \(d|a,\ d|b\)

این شرط می‌گوید عدد \(d\) باید شمارندهٔ هر دو عدد \(a\) و \(b\) باشد. یعنی \(d\) یک مقسوم‌علیه مشترک دو عدد است. اگر این شرط برقرار نباشد، \(d\) اصلاً مقسوم‌علیه مشترک نیست و نمی‌تواند بزرگ‌ترین باشد.

مثال: در \((6,9)=3\) داریم \(3|6\) و \(3|9\)، پس عدد 3 مقسوم‌علیه مشترک 6 و 9 است.

شرط (ب): \(\forall m>0:\ m|a,\ m|b \Rightarrow m\leq d\)

این شرط می‌گوید هر مقسوم‌علیه مشترک مثبت دلخواه مانند \(m\) نمی‌تواند از \(d\) بزرگ‌تر باشد. یعنی \(d\) بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک است. با این شرط، \(d\) از بین همهٔ مقسوم‌علیه‌های مشترک، بزرگ‌ترین آن‌هاست.

مثال: مقسوم‌علیه‌های مشترک مثبت 6 و 9 عبارت‌اند از 1 و 3؛ بزرگ‌ترین آن‌ها 3 است، پس \((6,9)=3\).

نتیجه: شرط (الف) مشترک بودن مقسوم‌علیه را تأمین می‌کند و شرط (ب) بزرگ‌ترین بودن آن را تأمین می‌کند. با هر دو شرط کنار هم، \(d\) همان ب م م دو عدد است.