مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
٢ اگر p عددی اول باشد و ∈ a و a | p / ، ثابت کنید، = 1 a(, )p... یا 1 = d p ⇒ اول p | d d = (p, a) فرض کنیم1 a | d(و این با فرض a | p / تناقض دارد) | 1 p ⇒ d = p اگرپس فقط ... = d یا ... = . (p, a)تذکر: توجه دارید که در مورد اعدادی که اول نباشند، ِ مطلب کار در کالس 2 ممکن است برقرار نباشد:1 ≠ 2 = (4, 6) ولی 6 | / 4 :مثالقضیه تقسیم و کاربردهاممکن است در تقسیم عدد صحیح a بر عدد طبیعی b ، باقی مانده صفر نباشد، یعنی a بر b بخش پذیر نباشد a(| b /) . دراین صورت ٔ قضیه تقسیم که به بیان آن خواهیم پرداخت (این قضیه را بدون اثبات می‌پذیریم) کمک می‌کند تا بحث بخش پذیریدر را کامل کنیم.قضیه تقسیم: اگر a عددی صحیح و b عددی طبیعی باشد در این صورت، اعدادی صحیح و منحصر به فرد مانندq و r یافت می‌شوند به قسمی‌که a = bq + r و b < r ≤ .0مثال: اگر 25 را بر 7 تقسیم کنیم داریم: q = 3 و r = 4 ، و به عبارت دیگر + 4 = .25 (3 * 7) حال اگر -25 را بر 7تقسیم کنیم و q = -3 در نظر بگیریم، در این صورت تساوی -4 * 7 = -25 (-3) حاصل می‌شود که نمی‌توان (-4) را بهعنوان باقی مانده معرفی کرد، زیرا طبق قضیه تقسیم باقی مانده باید نامنفی و کوچک تر از مقسوم علیه باشد در این صورت بااضافه و کم کردن مضارب مثبتی از ٌ مقسوم علیه، شرایط قضیه تقسیم را برقرار می‌کنیم:7 + 7 - 4 - -25 = 7 * (-3 (- 4 = 7 *) -3)3 = r ⇒ 3 + q 7 = 3 + 1 [ − 3 (−) ] 7 = 3 + 7 − 3 (−) × 7 =تذکر: همان طور که از ٔ دوره ابتدایی به خاطر دارید در تقسیم عدد a بر b ، a را مقسوم، b را ٌ مقسوم علیه، q را خارج قسمتو r را باقی مانده می‌نامیم.مثال: اگر باقی ٔ مانده تقسیم اعداد m و n بر 17 به ترتیب 5 و 3 باشد، در این صورت باقی ٔ مانده تقسیم عدد n(2 m - 5) بر17 را به دست آورید.حل: 10 + 1 q 17 × 2 = m 2 ⇒ 5 + 1 q 17 m : = طبق فرض15 − 2 q 17 × 5 (−) = n 5 − 3 + 2 q 17 n : = طبق فرض-5 (2 m - 5 n(= 17) 2 q 1 - 5 q 2) ⇒فصل ا ّ و ل: آشنایی با نظریه اعداد 14