جواب سوال صفحه ۱۰ ریاضیات گسسته

حل:

جواب این پرسش خیر است. برای این کار کافی است یک مثال نقض پیدا کنیم. گزارهٔ «\(a \mid bc\)» به این معناست که \(a\) عدد \(bc\) را می‌شمارد. ولی از این لازم نمی‌آید که \(a\) حتماً \(b\) یا \(c\) را بشمارد.

بررسی هر قسمت:

(الف) در این قسمت \(a=3\)، \(b=6\) و \(c=9\) است. داریم:
\[3 \mid 9 \quad \text{و} \quad 3 \mid 6 \times 9\]
در اینجا \(3 \mid 9\) است، یعنی \(a\) عدد \(c\) را می‌شمارد. پس حداقل یکی از دو عدد را عاد کرده است.

(ب) در این قسمت \(a=3\)، \(b=6\) و \(c=5\) است. چون \(3 \nmid 5\) (عدد 3 عدد 5 را عاد نمی‌کند)، گزارهٔ «\(3 \mid 5\)» درست نیست. پس این قسمت را به این صورت می‌خوانیم: \(3 \nmid 5\) و \(3 \mid 6 \times 5\). در اینجا \(3 \mid 6\) است، یعنی \(a\) عدد \(b\) را می‌شمارد.

(ج) در این قسمت \(a=6\)، \(b=4\) و \(c=3\) است. داریم:
\[6 \mid 4 \times 3 = 12\]
یعنی \(6 \mid 12\) درست است. اما:
\[6 \nmid 4 \quad \text{و} \quad 6 \nmid 3\]
یعنی هیچ‌کدام از دو عدد \(4\) و \(3\) بر \(6\) بخش‌پذیر نیستند. پس اینجا عدد \(6\) نه \(4\) را عاد می‌کند و نه \(3\) را.

نتیجه: از \(a \mid bc\) نمی‌توان نتیجه گرفت که حداقل یکی از دو عدد \(b\) و \(c\) را عاد می‌کند. قسمت (ج) این موضوع را نشان می‌دهد، چون \(6 \mid 12\) است ولی \(6 \nmid 4\) و \(6 \nmid 3\).