جواب کار در کلاس صفحه ۹۵ حسابان (2)

الف) \(f(x)=\dfrac{1}{x-4}\)

دامنه \(f\) برابر \(\mathbb{R}-\{4\}\) است. با استفاده از دستور مشتق خارج قسمت داریم، که در آن \(f_1(x)=1\) و \(g(x)=x-4\):

\[f_1'(x)=0,\qquad g'(x)=1\]

\[f'(x)=\frac{f_1'(x)g(x)-g'(x)f_1(x)}{(g(x))^2}=\frac{0\cdot(x-4)-1\cdot 1}{(x-4)^2}=-\frac{1}{(x-4)^2}\]

ب) \(g(x)=\sqrt{x}\,(3x^{2}+5)\)

دامنه تابع \(x>0\) است. تابع را حاصل‌ضرب دو تابع \(u(x)=\sqrt{x}\) و \(v(x)=3x^2+5\) در نظر می‌گیریم:

\[u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad v'(x)=6x\]

\[g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(3x^2+5)+\sqrt{x}\cdot 6x\]

برای ساده کردن، مخرج مشترک \(2\sqrt{x}\) می‌گیریم. چون \(\sqrt{x}\cdot 6x=\dfrac{12x\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{12x^2}{2\sqrt{x}}\) است، داریم:

\[g'(x)=\frac{3x^2+5+12x^2}{2\sqrt{x}}=\frac{15x^2+5}{2\sqrt{x}}\]

پ) \(h(x)=\dfrac{x}{2x^{2}+x-1}\)

مخرج را برابر صفر قرار می‌دهیم: \(2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)=0\). پس دامنه تابع \(\mathbb{R}-\{-1,\tfrac{1}{2}\}\) است.

صورت را \(f(x)=x\) و مخرج را \(g(x)=2x^2+x-1\) می‌گیریم:

\[f'(x)=1,\qquad g'(x)=4x+1\]

\[h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}=\frac{1\cdot(2x^2+x-1)-(4x+1)\cdot x}{(2x^2+x-1)^2}\]

صورت را ساده می‌کنیم:

\[2x^2+x-1-4x^2-x=-2x^2-1\]

بنابراین:

\[h'(x)=\frac{-2x^2-1}{(2x^2+x-1)^2}\]